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在一个特定大小的网格上（最多）抛弃几许个点，使得莫得三个点在吞并直线上？这居然是一个未惩处的问题。但与一些看似粗略实则繁重的问题不同（比如Collatz猜思），这个问题上已获取了一些施展。望望这些施展，也许还不错深切了解如何处理数学中的绽放问题。沿路探索吧！

最先，从一个正方形网格驱动，有n行n列。对于给定大小的网格，不错在网格线的交叉点抛弃几许个点，以确保莫得三个点不错用直线伙同？

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这个“三点不同线（No three-in-line problem）”的问题当先由Henry Dudeney在1900年提议，其时是对于一个8x8的棋盘上的棋子。

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惩处这类数学问题的一个灵验要领是先不雅察n较小的情况。不错从小的网格驱动，你会老成到，当n增大时，问题逐渐变得繁重。n为1和2的正方形不错都备填满，但从3驱动，就需要一些妙技。当n=4时，驱动有多种不同的要领不错达到最大值，

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而在n=5时，必须驱动商量“象步”对角线：

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对于n=5，这里有一个可能的解：

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上界

当n较小时，可能际遇的第一个阻挠是不知说念什么时辰停驻来。咱们如何知说念依然抛弃了通盘稳健的点？要是能有一个上界就好了：即使不细目能达到阿谁数字，但深信不成进步阿谁数字。

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是时辰用一般的数学规则来求解问题了。当n较小时，能抛弃的最多的点的数目是网格的宽度乘以二。

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事实说明，咱们不错用称为鸽笼旨趣（pigeonhole principle）的规则来说明咱们恒久不会作念得更好。

鸽笼旨趣说，要是有n个对象被放入k个空间中，那么至少存在一个空间，其中有n/k或更多的对象。

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假定有5个鸽笼放16只鸽子。要是试图使每个鸽笼中有3只或更少的鸽子，那么只可容纳最多15只鸽子，是以有16只鸽子时，至少有一个鸽笼中必须有4只或更多的鸽子。

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要是只和蔼正方形网格的行，并忽略列和对角线，那么不错把点算作鸽子，行算作鸽笼。每一瞥自己即是一条线，左证规则，每行最多只可有2个点，这意味着在一个n x n的网格上，最多只可放2n个点。

是以咱们找到了一个上界，但咱们目下还不知说念当n取随便值时，是否总能达到这个上界。实质上，我能找到的最大网格是n=52，在上头最多放2n（104）个点，使得莫得三个点在吞并直线上。

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下界

不错使用越来越广泛的缱绻机搜索越来越大的网格，但在数学中，咱们更心爱一般的情况。那么，对于n相等大时应该如何办？比如n=1000或者更大呢？咱们依然有一个上界。也许咱们不错找到一个下界。

文件中出现的第一个下界来自极其多产的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。

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埃尔德什发现，对于任何质数 p，总能在 p x p 的网格上抛弃至少 p 个点。埃尔德什说明这少量的状貌揭示了另一个有用的惩处问题的妙技：用数学的另一个分支重写问题。埃尔德什将这个几何问题滚动为一个数字问题。咱们目下来看说明：

最先在方格上抛弃 x 和 y 坐标，举例从0到 p-1的整数。埃尔德什说咱们不错在每一列中遴荐一个点，以确保这些点中的任何三个都不在一条直线上。要领是：为了找到 y 值，取 x 值，然后求它的过去，并求除以 p 之后的尾数。

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是以咱们找到的点是沿着函数 y=x^2 mod p 的点。

咱们如何知说念这种要领老是灵验的呢？在网格内取 y=x^2 mod p 上的随便三个不同点。咱们称这些点的 x 坐标为 i、j 和 k，按递加步骤，是以这些点的无缺坐标分离是(i, i^2 mod p)、(j, j^2 mod p)和(k, k^2 mod p)。

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第少量和第二点之间的线的斜率即是：

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同理，第少量和第三点之间的斜率是：

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要是这三个点在吞并条直线上，这些斜率必须颠倒：

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要是不错从这些分数中消去 j-i 和 k-i 就太好了，但咱们要谨防，某些数字mod下除法可能会有奇怪的事情发生。比如：

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消去（4-1）后的谜底是5，但实质谜底是0。但在某个数字m下的除法在某些特殊情况下照实不错消去。

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卓绝地，要是被除数、除数和商都条目为整数，且b与m除了1除外莫得天下因子，也即是，b和m是“互质”的。

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在咱们的网格中，因为p自己即是质数，是以p与通盘不是p的倍数的整数互质。由于 j-i 和 k-i 小于 p，它们不成是p的倍数，而由于 j+i 和 k+i 是整数，这意味着咱们不错省心肠进行这些消去操作。 最终得到 j=k。但咱们当先假定 i、j 和 k 都是不同的！是以，得到了一个矛盾，意味着这一组中莫得三个不同的点位于吞并条线上。是以，埃尔德什的要领对一个质数大小的网格老是灵验的。

对于质数n找到这个后果更有匡助：咱们知说念至少不错在 nxn 网格中放入至少与小于n的最大质数相似多的点，其中莫得三点共线。是以对于1000x 1000的网格，最多放入的点的数目至少是997。况且，正如 Joseph Bertrand 所提议的，Pafnuty Chebyshev 所说明的，对于 n>1，老是存在一个介于n和2n之间的质数。是以，咱们至少老是不错在nxn网格中放入至少 n/2个点，莫得三个点共线。

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更好的下界

模数运算使得 Richard R Hall 和他的合著者在1974年进一步种植了下界。咱们将从视觉上看这些后果，但咱们不会都备说明它们。他们的论文比埃尔德什的说明难以贯通，但要是你思了解，论文题目是“Some advances in the no-three-in-line problem”。

作家最先说明，不管n是否是素数，任何n x n网格上都不错抛弃至少 n 个不共线的三点。

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使用贝尔特兰和切比雪夫的定理在 n/2和n之间登第一个素数p。方程 xy mod p = -1给出了一组 S 中的 p-1个不在一线的点，这些点位于 p x p 的网格中，况且莫得两个点分享吞并瞥。

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咱们不错通过将直线的方程 y=mx+b 代入方程来说明这少量。这产生了一个二次方程，

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其最多有两个解，对应于 S 中的线上最多两个点，这些点在 mod p 下不等价。此描述遮蔽了很多模运算法例，但 Hall 和他的一又友们说明了通盘的细节。然后咱们不错取 S 的两个副本，

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再加上一个特等的（(p-1, p+1），然后将那些 2p-1 个点的前 n 个抛弃在 n x n 网格上。其次，他们说明，对于任何素数 p，一个 2p x 2p 的网格不错容纳 3p-3 个点，或稍少于1.5n。

取这组S中的 p-1个点，将其分为四个四分之一网格，

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并将这些四分之一网格分离复制3次，围绕 2p x 2p 的网格摆设。

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这个大齐集 T 包含了 S 中每个点的三个副本，这些点在 mod p 下是等价的。按照之前的逻辑，T 中的三个点只须在至少两个点在 mod p 下第价的情况下智力在一条线上。这只可发生在一条水平的、垂直的或者斜率为±1的线上。

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水暖热垂直线不成包含3个点，因为它们只经过S的2个副本，而对角线也不成，因为它们经过的第三个点会在T的中心“赋闲”中。

是以，咱们依然得到了大要1.5n 的下界和 2n 的上界。

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然则，咱们还不细目在阿谁鸿沟内不错找到任何特定的大 n 的最好解。还有临了一个惩处问题的妙技——猜思（conjecture），来自 Richard Guy 和 Patrick Kelley 在1968年，由 Gabor Ellmann 在2004年修正。

这个猜思使用了统计参数。最先，咱们需要缱绻在 n x n 网格中3个赶紧点是共线的概率。Guy 和 Kelley 用组合数来作念这个（也就诟谇常高等的计数），要是你思看通盘的细节，你应该稽查他们的论文（The No-Three-In-Line Problem）

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决窍是缱绻通盘可能斜率的通盘直线上的通盘点。

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得到的大致概率是

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一朝有了这个概率，就不错缱绻，对于任何给定的常数 k 在1.5到2之间，一个 n x n 网格中赶紧登第的 kn 个点莫得3个点共线的概率是几许。后果大要是

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然后，乘以 kn 点的总组合数，

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来看大要有几许莫得三点共线的组合。这个等式是由一个 n^n 项主宰的，或者更具体地说是

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这实质上是 Ellmann 的修正场地：Guy 和 Kelley 诞妄地使用了 +2而不是 +k。当指数中的所有为负时，这个项变为零：换句话说，要是 k 太大，那么，咱们瞻望基于赶紧性，可能莫得任何三点共线的点集。这并不料味着不成有一个，仅仅统计上不太可能。一些代数揭示了当 k 进步 π 除以3的过去根时，这个所有为负。

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是以，这个推测是这是一个达成。对于一个 n x n 的网格，你不太可能或者抛弃比 n 乘以 π 除以3的过去根多的点而莫得其中的三点共线。

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论断

咱们从一个对于国外象棋棋盘的酷好的小谜题驱动澳门银河彩票网，一直到东说念主类常识的边际——数学家只作念了有左证的猜猜。但愿你能看到，为什么在追求谜底的进程中，每一步都是合理的。像这么的绽放数学问题随地可见，只须你深切挖掘，就会发现，正如旧的问题得到了谜底，新的问题也被提议。是以，快点出去探索吧！

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